Le test de P&L Attribution

La règlementation « Fundamental Review of Trading Book » (FRTB) fait du test de PnL-Attribution un enjeu de taille dans la quête de réduction de fonds propres.

Glossaire

EFP: exigences en fonds propres
ES: Expected Shortfall
FRTB: Fundamental Review of Trading Book
HPL: Hypothetical PnL
IMA: Internal Model Approach
MtM: Mark-to-Market (Flux futurs actualisés à aujourd’hui)
NMRF: Non modellable risk factors
PLA: PnL Attribution
RTPL: Risk-Theoretical PnL
SA: Méthode standard
STT: Stress tests
VAR: Value at Risk

Introduction

Le cadre réglementaire « Fundamental Review of Trading Book » (FRTB) consiste en une refonte des 3 pivots de Bâle 2.5. Premièrement, il prône une meilleure définition de la frontière entre le Banking Book (réescompte) et le Trading Book (Mark-to-Market) en introduisant une notion d’intention de négociation complétée par une liste stricte d’instruments éligibles à figurer dans le book de trading. Cette segmentation a surtout vocation à réduire les possibilités d’arbitrage en matière de coûts en fonds propres (EFP) sur les actifs risqués en cas de conditions de marché défavorables. Deuxièmement, il propose une révision des métriques de risque réglementaires en introduisant la notion d’Expected Shortfall (ES) dans le calcul des EFP et la réduction du rôle de la VAR au simple back-test du modèle interne. En outre, les facteurs de risque retenus dans le modèle interne (IMA), i.e. utilisés pour calculer la VAR et l’ES, ne sont à présent valides qu’en cas de respect des critères de sélection rigoureux et en cas d’observabilité ou de cotation régulière. Troisièmement, le texte propose une méthode standard de calcul des EFP rééquilibrée ce qui en fait une alternative crédible à l’IMA. En effet, cette dernière sera utilisée pour calculer une limite inférieure (Floor) des EFP en cas d’utilisation de l’IMA. Le graphe suivant résume les deux voies de calcul des EFP :

Dans cet article, nous nous pencherons essentiellement sur le test de P&L Attribution (PLA) qui reste une des nouveautés du texte réglementaire. Rappelons que dans le cadre de la FRTB, le choix de l’usage de l’IMA ou de la méthode standard (SA) dans le calcul des EFP s’effectue au niveau du Trading Desk. De ce fait, pour rester/devenir éligible à l’usage de l’IMA dans ce calcul, chaque trading desk sera soumis, en plus du back-test de la VAR, à un test de PLA alimenté quotidiennement par deux métriques qu’on appellera et définira par la suite : PnL hypothétique (HPL) et théorique (RTPL). Ce test repose sur une comparaison des estimateurs statistiques de corrélation et des distributions respectives de chacune des deux séries PnL sur des observations quotidiennes d’une durée d’une année.

Définitions

PnL Hypothétique (Hypo-PnL)

Nous pouvons définir le HPL comme suit : « le HPL d’aujourd’hui est la réévaluation des positions détenues la veille en utilisant les données de marchés d’aujourd’hui ». Un proxy grossier du HPL serait le PnL économique réel réalisé entre deux dates auquel on retranche le theta (effet du passage du temps), les NnM (nouveaux deals ou deals modifiés) et les ajustements de valorisation (XVA). Notez que l’usage du terme « grossier » n’est pas anodin car le régulateur a explicitement demandé de recalculer le HPL et non pas de le déduire et ce pour éviter tout biais d’erreur dû aux effets croisés (temps vs marché). Nous nous attendons donc à ce que les directions des risques se penchent davantage sur les périmètres de trading d’option où certains facteurs de risque sont contribués comme des écart-types (par ex : volatilité moneyness) ou comme des paramètres implicites (par ex : ZSpread et gross basis). Sur ce genre de périmètre, le HPL recalculé risque d’être différent de celui implicité par la relation : pnl hypo = pnl eco – theta – NnM – XVA.

PnL Théorique (RTPL)

Une définition rigoureuse du RTPL est la suivante : « le RTPL d’aujourd’hui est la réévaluation des positions détenues la veille en déformant le marché de la veille de telle sorte à ce que seuls les facteurs de risques présents dans le modèle interne (IMA/VAR) dits modélisables soient actualisés selon les données d’aujourd’hui et en utilisant les modèles de valorisation des Risques et non ceux du F.O. ». En d’autres termes, le RTPL est le calcul d’un PnL de scénario d’une VAR historique calculé la veille sur le scénario historique d’aujourd’hui. On s’attend donc naturellement à avoir un écart par rapport au HPL et ce à deux niveaux : au niveau des différences de modèles de valorisation (par ex : nombre de pas de Monte-Carlo RISQ Vs FO,
Utilisation d’une volatilité locale côté RISQ vs. stochastique côté FO, etc.) et au niveau des données de marché (par ex : diminution du nombre de piliers constructeurs de la courbe de taux par les risques). Essayons de formuler le problème pour distinguer les différences entre RTPL et PNL :

Le RTPL est donc égal à (3) – (4) tandis que l’HPL équivaut à (1) – (2).

La dégradation du RTPL comparé au HPL répond à deux logiques différentes. La première est la nécessité d’arbitrage en termes de capacité et temps de calcul (CPU) venant du fait que le calcul des métriques de risques nécessite jusqu’à 200 fois plus de lancements d’où le besoin de rapidité. La deuxième est liée au nombre réduit de facteurs de risques qui peuvent être observés. En effet, les critères d’observabilité / sélection n’étant pas valides sur toutes les données de marché, les mouvements de marché réellement réalisés entre deux jours ne sont pas tous capturés par le peu de facteurs de risques utilisés dans le calcul du RTPL créant ainsi un biais de granularité.

Exemple : Si l’on considère un marché uniquement formé de taux swap de maturité 2 à 11 ans, et qu’on souhaite retrouver le HPL et le RTPL d’un produit « Swap de taux 7 ans payeur du taux fixe de nominal 10M€ » récemment négocié détenu par le desk de trading Flux de la banque. Le PnL entre deux dates serait donc : ~10𝑀€ x 7 x Δ𝑇𝑎𝑢𝑥𝑆𝑊7𝑌 où Δ𝑇𝑎𝑢𝑥𝑆𝑊7𝑌 est la variation du taux swap 7 ans entre ces deux dates. On supposera que seuls les taux swaps 2Y, 5Y et 10Y sont choqués en VAR et que les variations des 7 autres piliers est en fait une interpolation / extrapolation de ces seuls 3 facteurs de risque observables. Pour introduire la terminologie du PLA, le taux swap 2Y est dit « capitalisé » et le 7 ans est « capitalisé partiellement ». Nous obtiendrons donc un marché du RTPL différent de celui de l’HPL, comme le montre le graphe ci-dessous :

Par conséquent, la variation du taux swap 7Y est de 0,15bp pour le HPL et de 0,07 pour le RTPL. Le HPL est de 10,5k€ alors que le RTPL équivaut à 5,6€. Vous l’aurez compris, l’idée derrière le PLA est de détecter ce genre d’écarts dans le but de les réduire. En 2019, dans le texte final de la FRTB, le régulateur a concédé aux banques quelques demandes d’alignement qui permettent de faciliter la comparaison entre les deux métriques.
Par exemple, dans le cas où un desk est présent sur différents continents, il est permis de retraiter le RTPL et le HPL en utilisant des données de marché provenant du même fuseau horaire (par ex : les paires de conversion choisies peuvent être les mêmes). Ci-dessous la réponse donnée par la BCE à une des questions posées :
Q1: In the event trading desks of a bank operate in different time zones compared to the location of the bank’s risk control department, data for risk modelling could be retrieved at different snapshot times compared to the data on which the desks’ front office P&L is based.
Are banks permitted to align risk- theoretical P&L and hypothetical P&L in terms of data snapshot times for these desks?
Answer: Banks are permitted to align the snapshot time used for the calculation of the risk-theoretical P&L of a desk to the snapshot time used for the derivation of its hypothetical P&L.

NMRF : Non-Modellable Risk Factors

Dans la partie RTPL, nous avons vu que certaines Market Data (MD) bien que non présentes dans le modèle interne, restent modélisables (e.g. Swap 7Y est interpolé entre le swap 5Y et 10Y dans l’exemple plus haut). D’autres MD ne le sont pas à cause du non-respect de la condition d’observabilité (par exemple : la volatilité des options peu liquides). Par conséquent, une charge supplémentaire en fonds propres est calculée pour les trading desk dont le PnL dépend de ces market data dites NMRF.

Bien évidemment, ces NMRF devraient davantage creuser l’écart entre le RTPL et le HPL ce qui entrave doublement les directions des banques : (1) le calcul d’une charge supplémentaire Add-On sous forme de STT et (2) augmentation des chances de ne pas passer le test du PLA.

Dans ce cas, après lobbying des banques, le régulateur autorise ces dernières à ajuster leur RTPL de telle sorte à ce que ces NMRF ne génèrent aucun écart entre le RTPL et le HPL.

Tests de corrélation de Spearman

A la différence de la très répandue corrélation de Pearson, qui explore l’existence d’une relation linéaire entre les deux variables aléatoires comparées, Spearman trie chaque série et compare le rang de chaque variable à celui de sa paire. Mathématiquement, une bonne corrélation signifierait que les deux séries HPL et RTPL sont reliées par une fonction croissante, l’une étant fonction de l’autre. Pour illustrer ce propos, ci-dessous deux graphes pour attirer l’attention du lecteur sur la différence entre les deux corrélations :

Le cas 1 représente une corrélation de 100% au sens de Spearman et de Pearson tandis que le cas 2 représente une corrélation de 100% au sens de Spearman et 95% au sens de Pearson.

Tests de distribution de Kolmogorov-Smirnov

Quand on considère les deux séries HPL et RTPL, présentées comme deux échantillons issus de deux variables aléatoires théoriques, on est en droit de s’interroger sur la nature de la distribution qu’elles suivent : suivent-elles une loi normale ? log-normale ? loi de poisson ? Si oui, quel en est l’écart type et la moyenne ? Ces questions légitimes ne nous intéressent pas plus que ça du moment qu’on démontre que les deux séries HPL et RTPL sont issues d’une même distribution. D’où le test de Kolmogorov-Smirnov qui compare les deux distributions, en supposant que les observations quotidiennes du HPL et RTPL sont indépendantes et identiquement distribuées, et permet de conjecturer sur la similitude des deux distributions. Pour aller plus loin, et pour prendre du recul, il est généralement admis dans la littérature que ce test se concentre essentiellement sur les valeurs centrées des deux séries, et accorde peu d’importance aux valeurs extrêmes qui sont par construction plus rares. De fait, le test peut valider l’hypothèse de l’existence d’une même loi entre deux séries, à partir des 95% des valeurs centrées autour d’une même moyenne, bien que les valeurs extrêmes soient plus sévères dans l’une et pas dans l’autre. Par exemple, si l’on compare les deux séries suivantes : « -0,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9, …, -1000 » et « -0,-1,-2,-3,-4, …, -999,-1500 », le test de Kolmogorov- Smirnov validera la similitude bien que la deuxième série diverge de 500 sur la dernière observation. Imaginez ce que cette divergence peut avoir en termes d’impact si la deuxième série est utilisée pour calculer une ES/VAR au lieu de la première.

Construction du test

Les directions des risques sont tenues de créer un historique des dernières 250 dates ouvrées des métriques HPL et RTPL et de communiquer au régulateur une fois par trimestre les résultats des deux tests statistiques susmentionnés.

Le régulateur a défini 3 zones dans lesquelles peut se retrouver un trading desk comme c’est déjà le cas du test de back-testing de la VAR. Un desk de trading se verra attribuer une méthode de calcul des EFP selon la zone où il est alloué :

Par conséquent, tous les trimestres, chaque trading desk devra défendre/prouver son éligibilité au modèle interne, entre autres, en s’assurant d’être dans la zone verte du test de PLA.

Conclusion

Les enjeux du test de PnL-Attribution, comme nous avons pu le décrire plus haut, sont de taille quand on voit que l’indicateur de performance utilisé pour évaluer la rentabilité d’un trading desk est sa rentabilité « RORAC – Return On Risk-Adjusted Capital ». Dans un univers de croissance faible et d’aversion au risque élevée, le principal défi des BFI est donc de réduire la taille des fonds propres pour permettre aux équipes de F.O. de commercialiser des produits à forte valeur ajoutée : rentables mais gourmands en provision EFP.

Une autre difficulté liée à ce test est d’ordre opérationnelle puisqu’il va falloir certifier et mesurer une nouvelle métrique de PnL qui représente les mêmes difficultés opérationnelles que la chaîne de PnL économique classique. En plus de cela, plusieurs métriques devraient être remises en question puisque le régulateur explicite aujourd’hui qu’il souhaite avoir une date de marché postérieure à la date de valorisation. Les BU et leurs directions des risques vont devoir s’adapter et redéfinir leurs chaînes de PnL conformément. Le test de PLA est par conséquent le nerf de la guerre dans la quête de réduction de fonds propres. Les efforts déployés pendant des années par les départements des risques pour optimiser les moteurs de calculs de VAR et éviter une méthode standard réputée très conservatrice seront enfin évalués à leur juste mesure par le biais de ce test. Un soin donc particulier est à donner à ce chapitre de la FRTB si l’on ne souhaite pas voir ses fonds propres augmenter de manière considérable.